Здравствуйте. Ничего хитрого не требуется.
СЛедует навестить с питомцев ветеринара по месту жительства и оформить необходимые документы для пересечения границы. Все ветеринары это знают, умеют и любят на этом зарабатывать.

Уже по приезду в зависимости от того, что за питомец. Например, собаку необходимо зарегистрировать в установленном порядке и регулярно платить пошлину.